دانلود پایان نامه ارشد درمورد شبکه بندی

دانلود پایان نامه

م از اتلاف ویسکوز داریم :
τ_xy=μ(∂u/∂y+∂v/∂x)
با انتگرال گیری بر حجم کنترل دما بدست می آید :
∫▒∂/∂x (vτ_xy )Adx=(vτ_xy )_e-(vτ_xy )_w=[μv(∂u/∂y+∂v/∂x)]_e-[μv(∂u/∂y+∂v/∂x)]_w
و خواهیم داشت:
v_e=(v_(I,j,Z)+v_(I,j+1,Z)+v_(I+1,j,Z)+v_(I+1,j+1,Z))/4
(∂u/∂y)_e=(u_(i+1,J+1,Z)-u_(i+1,J-1,Z))/2δ
(∂v/∂x)_e=((v_(I+1,j+1,Z)+v_(I+1,j,Z) )-(v_(I,j+1,Z)+v_(I,j,Z)))/2δ
همچنین برای کروشه دوم داریم:
v_w=(v_(I-1,j,Z)+v_(I-1,j+1,Z)+v_(I,j,Z)+v_(I,j+1,Z))/4
(∂u/∂y)_w=(u_(i,J+1,Z)-u_(i,J-1,Z))/2δ
(∂v/∂x)_w=((v_(I,j+1,Z)+v_(I,j,Z) )-(v_(I-1,j+1,Z)+v_(I-1,j,Z) ))/2δ
در عبارت سوم از اتلاف ویسکوز دازیم:
τ_xz=μ(∂u/∂z+∂w/∂x)
و با انتگرال گیری بر روی حجم کنترل خواهیم داشت:
∫▒∂/∂x (wτ_xz )Adx=(wτ_xz )_e-(wτ_xz )_w=[μw(∂u/∂z+∂w/∂x)]_e-[μw(∂u/∂z+∂w/∂x)]_w
برای عبارات در کروشه اول داریم:
w_e=(w_(I,J,z)+w_(I,J,z+1)+w_(I+1,J,z)+w_(I+1,J,z+1))/4
〖(∂u/∂z)〗_e=(u_(i+1,J,Z+1)-u_(i+1,J,Z-1))/2δ
〖(∂w/∂x)〗_e=(〖(w〗_(I+1,J,z+1)+w_(I+1,J,z))-〖(w〗_(I,J,z+1)+w_(I,J,z)))/2δ
و در کروشه دوم:
w_w=(w_(I-1,J,z)+w_(I-1,J,z+1)+w_(I,J,z)+w_(I,J,z+1))/4
〖(∂u/∂z)〗_w=(u_(i,J,Z+1)-u_(i,J,Z-1))/2δ
〖(∂w/∂x)〗_w=(〖(w〗_(I,J,z+1)+w_(I,J,z))-〖(w〗_(I-1,J,z+1)+w_(I-1,J,z)))/2δ
عبارت چهارم در اتلاف ویسکوز در بردارنده عبارت زیر می باشد:
τ_yx=μ(∂u/∂y+∂v/∂x)
که با انتگرال گیری داریم:
∫▒∂/∂y (uτ_yx )Ady=(uτ_yx )_n-(uτ_yx )_s=[μu(∂u/∂y+∂v/∂x)]_n-[μu(∂u/∂y+∂v/∂x)]_s
حال برای عبارت های داخل کروشه خواهیم داشت:
u_n=(u_(i,J,Z)+u_(i+1,J,Z)+u_(i,J+1,Z)+u_(i+1,J+1,Z))/4
〖(∂u/∂y)〗_n=(〖(u〗_(i,J+1,Z)+u_(i+1,J+1,Z))-〖(u〗_(i,J,Z)+u_(i+1,J,Z)))/2δ
〖(∂v/∂x)〗_n=(v_(I+1,j+1,Z)-v_(I-1,j+1,Z))/2δ
و
u_s=(u_(i,J-1,Z)+u_(i+1,J-1,Z)+u_(i,J,Z)+u_(i+1,J,Z))/4
〖(∂u/∂y)〗_s=(〖(u〗_(i,J,Z)+u_(i+1,J,Z))-〖(u〗_(i,J-1,Z)-u_(i+1,J-1,Z)))/2δ
〖(∂v/∂x)〗_s=(v_(I+1,j,Z)+v_(I-1,j,Z))/2δ
برای عبارت پنجم داریم:
τ_yy=2/3 μ[2 ∂v/∂y-(∂u/∂x+∂w/∂z)]
که با انتگرال گیری داریم:
∫▒〖∂/∂y (vτ_yy )Ady=〗 (vτ_yy )_n-(vτ_yy )_s=[2/3 μv[2 ∂v/∂y-(∂u/∂x+∂w/∂z)]]_n-[2/3 μv[2 ∂v/∂y-(∂u/∂x+∂w/∂z)]]_s
و عبارت های درون کروشه ها اینچنینند:
v_n=v_(I,j+1,Z)
〖(∂v/∂y)〗_n=(v_(I,j+2,Z)-v_(I,j,Z))/2δ
(∂u/∂x)_n=((u_(i+1,J,Z)+u_(i+1,J+1,Z) )-(u_(i,J,Z)+u_(i,J+1,Z) ))/2δ
〖(∂w/∂z)〗_n=((w_(I,J,z+1)+w_(I,J+1,z+1) )-(w_(I,J,z)+w_(I,J+1,z)))/2δ
و همپنین
v_s=v_(I,j,Z)
〖(∂v/∂y)〗_s=(v_(I,j+1,Z)-v_(I,j-1,Z))/2δ
(∂u/∂x)_s=((u_(i+1,J-1,Z)+u_(i+1,J,Z) )-(u_(i,J-1,Z)+u_(i,J,Z) ))/2δ
〖(∂w/∂z)〗_s=((w_(I,J-1,z+1)+w_(I,J,z+1) )-(w_(I,J-1,z)+w_(I,J,z)))/2δ
در عبارت ششم از اتلاف ویسکوز داریم:
τ_yz=μ(∂v/∂z+∂w/∂y)
و در تنیجه خواهیم داشت
∫▒〖∂/∂y (wτ_yz )Ady=〗 (wτ_yz )_n-(wτ_yz )_s=[μw(∂v/∂z+∂w/∂y)]_n-[μw(∂v/∂z+∂w/∂y)]_s
لذا داریم:
w_n=(w_(I,J,z)+w_(I,J,z+1)+w_(I,J+1,z)+w_(I,J+1,z+1))/4
〖(∂v/∂z)〗_n=(v_(I,j+1,Z+1)-v_(I,j+1,Z-1))/2δ
〖(∂w/∂y)〗_n=((w_(I,J+1,z+1)+w_(I,J+1,z) )-(w_(I,J,z+1)+w_(I,J,z)))/2δ
و
w_s=(w_(I,J-1,z)+w_(I,J-1,z+1)+w_(I,J,z)+w_(I,J,z+1))/4
〖(∂v/∂z)〗_s=(v_(I,j,Z+1)-v_(I,j,Z-1))/2δ
〖(∂w/∂y)〗_s=((w_(I,J,z+1)+w_(I,J,z) )-(w_(I,J-1,z+1)+w_(I,J-1,z)))/2δ
در عبارت هفتم از اتلاف ویسکوز داریم :
τ_zx=μ(∂u/∂z+∂w/∂x)
با توجه به جهت انتگرال گیری داریم:
∫▒∂/∂z (uτ_zx )Adz=(uτ_zx )_t-(uτ_zx )_b=[μu(∂u/∂z+∂w/∂x)]_t-[μu(∂u/∂z+∂w/∂x)]_b
و در کروشه ها خواهیم داشت:
u_t=(u_(i,J,Z)+u_(i+1,J,Z)+u_(i,J,Z+1)+u_(i+1,J,Z+1))/4
(∂u/∂z)_t=((u_(i,J,Z+1)+u_(i+1,J,Z+1) )-(u_(i,J,Z)+u_(i+1,J,Z)))/2δ
(∂w/∂x)_t=(〖(w〗_(I+1,J,z+1)-w_(I-1,J,z+1)))/2δ
و
u_b=(u_(i,J,Z-1)+u_(i+1,J,Z-1)+u_(i,J,Z)+u_(i+1,J,Z))/4
(∂u/∂z)_b=((u_(i,J,Z)+u_(i+1,J,Z) )-(u_(i,J,Z-1)+u_(i+1,J,Z-1)))/2δ
(∂w/∂x)_b=(〖(w〗_(I+1,J,z)-w_(I-1,J,z)))/2δ
عبارت هشتم و انتگرال گیری آن به قرار زیر است:
τ_zy=μ(∂v/∂z+∂w/∂y)
∫▒∂/∂z (〖vτ〗_zy )Adz=(〖vτ〗_zy )_t-(〖vτ〗_zy )_b=[μv(∂v/∂z+∂w/∂y)]_t-[μv(∂v/∂z+∂w/∂y)]_b
و در نیجه برای کروشه ها داریم:
v_t=(v_(I,j,Z)+v_(I,j+1,Z)+v_(I,j,Z+1)+v_(I,j+1,Z+1))/4
(∂v/∂z)_t=((v_(I,j+1,Z+1)+v_(I,j,Z+1) )-(v_(I,j+1,Z)+v_(I,j,Z)))/2δ
(∂w/∂y)_t=(〖(w〗_(I,J+1,z+1)-w_(I,J-1,z+1)))/2δ
و همچنین
v_b=(v_(I,j,Z-1)+v_(I,j+1,Z-1)+v_(I,j,Z)+v_(I,j+1,Z))/4
(∂v/∂z)_b=((v_(I,j+1,Z)+v_(I,j,Z) )-(v_(I,j+1,Z-1)+v_(I,j,Z-1)))/2δ
(∂w/∂y)_b=(〖(w〗_(I,J+1,z)-w_(I,J-1,z)))/2δ
و در نهایت برای عبارت نهم داریم:
τ_zz=2/3 μ[2 ∂w/∂z-(∂u/∂x+∂v/∂y)]
∫▒∂/∂z (wτ_zz )Adx=(wτ_zz )_t-(wτ_zz )_b=[2/3 μw[2 ∂w/∂z-(∂u/∂x+∂v/∂y)]]_t-[2/3 μw[2 ∂w/∂z-(∂u/∂x+∂v/∂y)]]_b
که در آن عبارت های درون کروشه ها به قرار زیرند:
w_t=w_(I,J,z+1)
(∂w/∂z)_t=(〖(w〗_(I,J,z+2)-w_(I,J,z)))/2δ
(∂u/∂x)_t=((u_(i+1,J,Z)+u_(i+1,J,Z+1) )-(u_(i,J,Z)+u_(i,J,Z+1) ))/2δ
(∂v/∂y)_t=((v_(I,j+1,Z)+v_(I,j+1,Z+1) )-(v_(I,j,Z)+v_(I,j,Z+1)))/2δ
و همچنین
w_b=w_(I,J,z)
(∂w/∂z)_b=(〖(w〗_(I,J,z+1)-w_(I,J,z-1)))/2δ
(∂u/∂x)_b=((u_(i+1,J,Z-1)+u_(i+1,J,Z) )-(u_(i,J,Z-1)+u_(i,J,Z) ))/2δ
(∂v/∂y)_b=((v_(I,j+1,Z-1)+v_(I,j+1,Z) )-(v_(I,j,Z-1)+v_(I,j,Z)))/2δ
همچنین برای سه عبارت پایانی داریم:
-∫▒〖∂/∂x [u(1/2 ρu^2+1/2 ρv^2+1/2 ρw^2 )]Adx=[-u(1/2 ρu^2+1/2 ρv^2+1/2 ρw^2 )]_e-[-u(1/2 ρu^2+1/2 ρv^2+1/2 ρw^2 )]_w 〗
-∫▒〖∂/∂y [v(1/2 ρu^2+1/2 ρv^2+1/2 ρw^2 )]Ady=[-v(1/2 ρu^2+1/2 ρv^2+1/2 ρw^2 )]_n-[-v(1/2 ρu^2+1/2 ρv^2+1/2 ρw^2 )]_s 〗
-∫▒〖∂/∂z [w(1/2 ρu^2+1/2 ρv^2+1/2 ρw^2 )]Adz=[-w(1/2 ρu^2+1/2 ρv^2+1/2 ρw^2 )]_t-[-w(1/2 ρu^2+1/2 ρv^2+1/2 ρw^2 )]_b 〗
که در رابطه بالا تمامی عبارت های درون کروشه ها در صفحات پیشین آورده شده است.
3-6-1 نحوه اعمال شرط مرزی پرش دما بر روی دیواره ها
برای اعمال شرط مرزی پرش دما بر روی دیواره ها همانند شرط مرزی لغزش عمل می کنیم. در این مسئله برای شرط مرزی پرش از رابطه زیر استفاده شده است:
T_surf-T_wall=(2-σ_t)/σ_t λ/Pr 2γ/(1+γ) ∂T/∂n
که در بسیاری از محاسبات مهندسی σ_t=1 در نظر گرفته شده است . برای∂T/∂n از تقریب زیر استفاده می کنیم و در ادامه خواهیم داشت:
∂T/∂n=(T_P-T_surf)/(δ⁄2)
T_surf-T_wall=(2-σ_t)/σ_t (D_h Kn )/Pr 2γ/(1+γ) ∂T/∂n
و در نتیجه
T_surf-T_wall=2/δ (D_h Kn )/Pr 2γ/(1+γ)×(T_P-T_surf)
با در نظر گرفتن
β_t=2/δ (D_h Kn )/Pr 2γ/(1+γ)
داریم
T_surf=β_t/(1+β_t ) T_P+1/(1+β_t ) T_wall
T_P-T_surf=1/(1+β_t )(T_P-T_wall)
3-6-2 شرایط مرزی برای دما
با توجه به رابطه بدست آمده در صفحه قبل و این نکته که برای دما بر روی دیوار داریم:
(T_
P+T_north)/2=T_surf
می توان به رابطه زیر برای نود خارج از محدوده مسئله برای دما دست یافت:
T_P+T_north=〖2β〗_t/(1+β_t ) T_P+2/(1+β_t ) T_wallnorth
T_(J=n+1)=T_north=(β_t-1)/(1+β_t ) T_P+2/(1+β_t ) T_wallnorth
همچنین برای مرز تقارن داریم
T_(J=0)=T_south=T_(J=1)
همانند روابط بالا برای مرز دیگر دیواره داریم:
T_(Z=q+1)=T_top=(β_t-1)/(1+β_t ) T_P+2/(1+β_t ) T_walltop
و برای مرز تقارن هم ارز آن داریم:
T_(Z=0)=T_bott=T_(Z=1)
برای ورودی و خروجی نیاز به دو شرط خارج از منطقه حل خواهیم بود که به قرار زیرند :
T_(I=0)=T_west=T_inlet
T_(I=-1)=T_westwest=〖2T〗_inlet-T_(I=1)
T_(I=m+1)=T_east=T_(I=m)
T_(I=m+2)=T_easteast=T_(I=m)

با توجه به توضیحات صفحات پیشین بدیهی است که این شرایط مرزی تاثیر زیادی بر معادله انرژی در نود های نزدیک مرز خواهد گذاشت لذا به بررسی این نود ها به صورت کاملا مشروح در ضمائم می پردازیم.

3-7 الگوریتم حل

در این پروژه از الگوریتم SIMPLER برای حل معادلات مومنتم و انرژی استفاده شده است. با توجه به توضیحات کامل موجود در منابع مختلف شرح مختصری از مراحل مختلف این الگوریتم ارائه می شود.
3-7-1مراحل SIMPLER
مرحله اول :
u ̂_(i,J,Z)=(∑▒〖a_nb u_nb+b_(i,J,Z) 〗)/a_(i,J,Z)
v ̂_(I,j,Z)=(∑▒〖a_nb^’ v_nb+b_(I,j,Z)^’ 〗)/(a_(I,j,Z)^’ )
w ̂_(I,J,z)=(∑▒〖a_nb^” w_nb+b_(I,J,z)^” 〗)/(a_(I,J,z)^” )
مقادیر u_nb ، v_nb وw_nb از مقادیر u ، v و wبدست آمده از دور قبل محاسبات یا از مقادیر اولیه برای مولفه های سرعت استفاده می کنند.
ضرایب a^”,b^”,a^’,b^’,a,b نیز به همین ترتیب عمل میکنند.
مرحله دوم: حل معادله P
ضرایب معادله P نیز از w,v,u های دور قبل استفاده می کنند. تنها b_p از v ̂وu ̂ محاسبه شده در مرحله اول بدست می آید.
مرحله سوم: حل معادلات مومنتم
a_(i,J,Z) u_(i,J,Z)^*=∑▒a_nb u_nb^*+(P_(I-1,J,Z)-P_(I,J,Z) )+b_(i,J,Z)
a_(I,j,Z)^’ v_(I,j,Z)^*=∑▒a_nb^’ v_nb^*+(P_(I,J-1,Z)-P_(I,J,Z) )+b_(I,j,Z)^’
a_(I,j,Z)^” w_(I,j,Z)^*=∑▒a_nb^” w_nb^*+(P_(I,J,Z-1)-P_(I,J,Z) )+b_(I,j,Z)^”
در مرحله سوم با حل معادلات بالا v^*,u^* بدست می آیند.
در این معادلات از P های محاسبه شده در Step 2 استفاده می شود. تمام ضرایب از u های دور قبل بدست می آیند.
مرحله چهارم: حل معادله P^’
تمام ضرایب از u,v,w های دور قبل بدست می آیند.
b_p^’ از w^* وv^*,u^* های مرحله سوم بدست می آید.
مرحله پنجم: تصحیح سرعت
u_(i,J,Z)=u_(i,J,Z)^*+d_(i,J,Z) (P_(I-1,J,Z)^’-P_(I,J,Z)^’)
v_(I,j,Z)=v_(I,j,Z)^*+d_(I,j,Z)^’ (P_(I-1,J,Z)^’-P_(I,J,Z)^’)
w_(I,J,z)=w_(I,J,z)^*+d_(I,J,z)^” (P_(I-1,J,Z)^’-P_(I,J,Z)^’)
ضرایب d^”,d^’ وd از u,v,w های دور قبل بدست می آیند.
به دلیل اینکه u,v,w هم در سمت چپ معادلات بالا و هم در ضرایب d^”,d^’ وd حضور دارند برای تصحیح u,v,w از یک ماتریس واسط استفاده می کنیم.
مرحله ششم: حل معادله انرژی
در این مرحله با توجه به حل شدن سرعت ها می توانیم معادله انرژی را حل کنیم. لازم به ذکر است که این مراحل تا برقراری همگرایی تکرار می شوند.

3-8 شکل کلی حل معادلات به روش TDMA

در این پروژه شکل کلی دستگاه های معادلات گسسته شده به صورت زیر می باشد. در واقع برای تمام معادلات مومنتم و معادلات فشار و همچنین معادله انرژی شکل مشابهی وجود دارد. بنابراین معادله کلی زیر برای توضیح حل کل معادلات آورده شده است. به دلیل حجم بالای مطالب از شرح بیش از اندازه در مورد روش TDMA صرف نظر شده است و خواننده به مراجع ارجاع داده می شود. لازم به ذکر است که روش TDMA در واقع یک روش مستقیم برای حل یک دستگاه معادلات سه قطری است اما از آنجا که در حل مسئله مورد مطالعه در این پروژه به دلیل سه بعدی بودن مسئله تعداد بسیار زیادی دستگاه های سه قطری خواهیم داشت و به همین دلیل از روش TDMA به صورت تکراری استفاده می کنیم.
β_1 ϕ_1-γ_1 ϕ_2 =G_1
-α_2 ϕ_1+β_2 ϕ_2-γ_2 ϕ_3 =G_2
-α_3 ϕ_2+β_3 ϕ_3-γ_3 ϕ_4 =G_3
.
.
-α_(n-1) ϕ_(n-2)+β_(n-1) ϕ_(n-1)-γ_(n-1) ϕ_n =G_(n-1)
-α_n ϕ_(n-1)+β_n ϕ_n =G_n
با توجه به دستگاه سه قطری بالا می توان حل زیر را برای این دستگاه در نظر گرفت.
A_j=γ_j/(β_j-A_(j-1) α_j ) A_0=0
H_j=(G_j+H_j α_j)/(β_j-A_(j-1) α_j ) 〖 H〗_0=0
ϕ_j=A_j ϕ_(j+1)+H_j 〖 ϕ〗_n=H_n
همان طور که پیشتر ذکر شد برای حل دستگاه ها در این مسئله از روش TDMA به صورت تکراری استفاده شده است، با این توضیح که ابتدا در یک صفحه نود ها خط به خط حل می شوند و در هر خط از حل از مقادیر قبلی بدست آمده در خط قبلی استفاده می شود. پس از حل یک صفحه برنامه صفحه بعدی را خط به خط حل می کند و از مقادیر بدست آمده در صفحه قبلی نیز استفاده می کند. به این ترتیب برنامه کل محدوده حل را جاروب می کند. به این ترتیب یک مرحله از حل به پایان می رسد اما همان طور که بیان شد این روش باید به صورت تکراری استفاده شود تا حل همگرا گردد لذا تمام مراحل ذکر شده بارها تکرار می شوند تا حل همگرا گردد.

فصل چهارم
نتایج و پیشنهادات

4-1 بررسی صحت حل عددی:

برای بررسی صحت این حل عددی و این نکته که این الگوریتم توانایی حل جریان یک سیال گازی در میکروکانال ها را دارد و اینکه تا چه اندازه باید از شبکه بندی ریز استفاده کنیم نتایجی از حل حاضر را با نتایج مراجع [24 و25 ] مقایسه می کنیم. با توجه به جدول زیر:
Aspect Ratio
شبکه
بدست آمدهNu
Nu [ 25]
Nu [ 24]

1
300×20×20
3.381
3.364
3.293

450×30×30
3.371

600×40×40
3.365

2
300×20×40
3.842
3.831
3.849

450×30×60
3.834

600×40×80
3.831
< br />
5
300×20×100
5.451
5.445
5.405

450×30×150
5.447

600×40×200
5.444

جدول 4- 1 بررسی صحت جواب ها با مراجع [24و25]
در می یابیم الگوریتم انتخاب شده با دقت قابل قبولی پاسخ های مربوط به حل یک جریان گازی در میکروکانال مستطیل شکل را ارائه می کند. لازم به ذکر است که جدول بالا برای جریان پیوسته و بدون در نظر گرفتن اتلاف ویسکوز می باشد و همچنین در این جدول Pe=0.5 می باشد. با توجه به دقت قابل قبول نتایج در ریز ترین شبکه بندی از این شبکه برای سایر نتایج استفاده شده است.
4-2 نتایج و توضیحات:

همانطور که پیش تر بیان شد این پروژه به حل عددی یک جریان تراکم پذیر گازی در میکروکانال مستطیل می پردازد. اتلافات ویسکوز نیز در حل لحاظ شده است. نکته بسیار اساسی آنست که تراکم پذیری و هدایت در جهت لوله وابسته به مقدار Pe می باشند. در میکرو کانال ها جریان ها با Pe پایین را مشاهده می کنیم که این Pe پایین منجر به آن می شود که اثرات تراکم پذیری کم تاثیر شوند و در عوض اثرا

دیدگاهتان را بنویسید