۱-۳-۲ مقدمه
اکثر سیگنال های مورد استفاده در عمل، در حوزه زمان هستند. به عبارت دیگر، درا یه های سیگنال، جدای از آنچه سیگنال مورد بحث اندازه گیری میکند ، تابعیت زمانی خواهد داشت. بدین سان به هنگام رسم سیگنال، دامنه مقادیر مختلف سیگنال بر حسب زمان رسم می گردند. طبیعتاً این نحوه نمایش، بهترین شکل برای توصیف یک سیگنال نخواهد بود. در بسیاری موارد، اطلاعات سودمند سیگنال در محتوای فرکانسی آن نهفته اند که اصطلاحاً به آن، طیف سیگنال[۲۸] گفته میشود. به بیان ساده، طیف یک سیگنال نشان دهنده فرکانس های موجود در آن سیگنال است. جهت دست یابی یه این اطلاعات نهفته شده در درون سیگنال تبدیلات ریاضیاتی متنوعی در طول سال های متمادی معرفی شده اند تا ما را در رساندن به مقصود یاری کنند . [۹]
تبدیل موجک یکی از پرکاربردترین تبدیلات ریاضی در حوزه پردازشی و به ویژه پردازش سیگنال و تصویر می باشد. با توجه به ماهیت آنالیز چندرزولوشنی[۲۹]، این تبدیل جای خود را در بسیاری از کاربردهای پردازشی باز کرده است و بعضاً به عنوان توانمندترین ابزار رخ می نمایددر ادامه این فصل مبانی ریاضی تبدیل موجک مرور خواهد شد. بدین منظور برای درک بهتر مفاهیم تبدیل موجک در ابتدا تبدیل فوریه به اختصار توضیح داده شده و سپس با بیان کاستی های آن، تبدیل فوریه زمان کوتاه بررسی می گردد. در نهایت به تبدیل موجک خواهیم پرداخت و به روابط ریاضی آن اشاره خواهیم کرد .
۲-۳-۲ تبدیل فوریه [۳۰]
در ﻗﺮن ۱۹ ﻣﻴﻼدی، ﻳﻚ رﻳﺎﺿﻲدان ﻓﺮاﻧﺴﻮی ﺑﻪ ﻧﺎم ﺟﻮزف ﻓﻮرﻳﻪ ﻧﺸﺎن داد ﻛﻪ ﻫﺮ ﺗﺎﺑﻊ ﻣﺘﻨﺎوب را ﻣﻲﺗﻮان ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻣﺠﻤﻮع ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻲ از ﺗﻮاﺑﻊ ﭘﺎﻳﻪ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ و ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ (و ﻳﺎ ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺘﻨﺎوب ﻣﺨﺘﻠﻂ) ﻧﻮﺷﺖ. ﺳﺎلﻫﺎ ﺑﻌﺪ از ﻛﺸﻒ اﻳﻦ ﺧﺎﺻﻴﺖ ﺷﮕﻔﺖاﻧﮕﻴﺰ ﺗﻮاﺑﻊ ﻣﺘﻨﺎوب، اﻳﻦ اﻳﺪه ﺗﺤﺖ ﻋﻨﻮان ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﻪ ﺳﺎﻳﺮ ﺗﻮاﺑﻊ ﻧﻴﺰ ﺗﻌﻤﻴﻢ داده ﺷﺪ. ﭘﺲ از اﻳﻦ ﺗﻌﻤﻴﻢ ﺑﻮد ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺑﺰاری ﻛﺎرآﻣﺪ در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮی وارد ﮔﺮدﻳﺪ. در ﺳﺎل ۱۹۶۵، ﻳﻚ اﻟﮕﻮرﻳﺘﻢ ﺟﺪﻳﺪ ﺑﺎ ﻧﺎم ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﺮﻳﻊ [۳۱]ﺟﺎی ﺧﻮد را در ﻣﺤﺎﺳﺒﺎت ﻛﺎﻣﭙﻴﻮﺗﺮی ﺑﺎز ﻛﺮد. [۹,۴,۵]
ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ، ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺑﻪ ﻣﺠﻤﻮﻋﻲ از تعداد ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻲ ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘلط اﻓﺮاز ﻣﻲﻛﻨﺪ ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺪام از آنﻫﺎ دارای ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻔﻲ ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ. ﻃﺒﻖ ﺗﻌﺮﻳﻒ، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻴﻮﺳﺘﻪ در زﻣﺎن (x(t ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺑﺪﺳﺖ ﻣﻲ آﻳﺪ:
(۲-۳)
ﻛﻪ در آن t زﻣﺎن و f ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺳﺖ. راﺑﻄﻪ (۲-۳) ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل (t)x را ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ، ﻣﻲﺗﻮان ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎﻧﻲ را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻜﺘﺎ ﺑﻪ ﻧﺤﻮ زﻳﺮ بدست آورد ﻛﻪ در اﺻﻄﻼح، ﻋﻜﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد:
(۲-۴)
ﺑﺎ دﻗﺖ در راﺑﻄﻪ (۲-۳) ﻣﻲﺗﻮان دﻳﺪ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل (x(t در ﻳﻚ ﺟﻤﻠﻪ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﻌﻴﻦ f ﺿﺮب ﺷﺪه اﺳﺖ و ﺳﭙﺲدر ﺗﻤﺎمی زﻣﺎنﻫﺎ اﻧﺘﮕﺮال ﮔﺮﻓﺘﻪ ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ ﻧﻤﻮد ﻛﻪ ﺟﻤﻠﻪ ﻧﻤﺎﻳﻲ را ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﻧﻮﺷﺖ:
(۲-۵)
ﻋﺒﺎرت ﺑﺎﻻ ﺷﺎﻣﻞ ﻳﻚ ﺟﻤﻠﻪ ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f و ﻳﻚ ﺟﻤﻠﻪ ﻣﻮﻫﻮﻣﻲ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ آﻧﭽﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺻﻮرت ﻣﻲ ﭘﺬﻳﺮد در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺿﺮب ﻧﻤﻮدن ﺳﻴﮕﻨﺎل زﻣﺎﻧﻲ در ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﻧﻤﺎﻳﻲ ﻣﺨﺘﻠﻂ اﺳﺖ ﻛﻪ در واﻗﻊ ﺗﺮﻛﻴﺒﻲ از دو ﺗﺎﺑﻊ ﺗﻨﺎوﺑﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. در ﮔﺎم ﺑﻌﺪ، از اﻳﻦ ﺣﺎﺻﻞ ﺿﺮب اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮی زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻲ ﺷﻮد. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن ﺑﻬﺘﺮ، ﺗﻤﺎم ﻧﻘﺎط اﻳﻦ ﺣﺎﺻﻠﻀﺮب ﺑﺎ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ ﺟﻤﻊ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. در ﻧﻬﺎﻳﺖ اﮔﺮ ﺣﺎﺻﻞ اﻳﻦ اﻧﺘﮕﺮال ﮔﻴﺮی ،ﻛﻪ ﭼﻴﺰی ﺟﺰ ﻧﻮﻋﻲ ﺟﻤﻊ ﻧﺎﻣﺘﻨﺎﻫﻲ ﻧﻴﺴﺖ، ﻋﺪدی ﺑﺰرگ ﺑﺎﺷﺪ، آﻧﮕﺎه ﻣﻲﮔﻮﻳﻴﻢ ﺳﻴﮕﻨﺎل (x(t ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f دارد. اﮔﺮ ﺣﺎﺻﻞ ﻣﻘﺪاری ﻛﻮﭼﻚ ﺑﺎﺷﺪ، میﮔﻮﺋﻴﻢ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ f در اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻏﺎﻟﺐ ﻧﻴﺴﺖ. ﺻﻔﺮ ﺑﻮدن ﺣﺎﺻﻞ اﻧﺘﮕﺮال ﻧﻴﺰ ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎی ﻋﺪم وﺟﻮد ﭼﻨﻴﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل اﺳﺖ. ﺑﺮای آن ﻛﻪ ﺑﺮرﺳﻲ دﻗﻴﻖﺗﺮی ﻧﺴﺒﺖ ﺑﻪ ﻋﻤﻠﻜﺮد اﻳﻦ اﻧﺘﮕﺮالﮔﻴﺮی داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﻴﻢ، ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل دارای ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻏﺎﻟﺐ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺸﺨﺺ f ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺎ ﺿﺮب اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل در ﺟﻤﻠﻪ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻫﻤﺎن ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ، ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻏﺎﻟﺐ و ﺟﻤﻠﻪ ﺳﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺮ ﻳﻜﺪﻳﮕﺮ اﻧﻄﺒﺎق ﻳﺎﻓﺘﻪ و ﻟﺬا ﻣﻘﺪار ﻋﺪدی ﺣﺎﺻﻞﺿﺮب ﻧﺴﺒﺘﺎً ﺑﺰرگ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد ﻛﻪ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ دارد. ﺷﺎﻳﺎن ذﻛﺮ اﺳﺖ، اﻧﺘﮕﺮال ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺑﺮ روی ﻣﺘﻐﻴﺮ زﻣﺎن ﮔﺮﻓﺘﻪ ﻣﻲ ﺷﻮد ﺣﺎل آنﻛﻪ ﺳﻤﺖ ﭼﭗ اﻳﻦ ﻣﻌﺎدﻟﻪ ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺳﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ، راﺑﻄﻪ (۲-۳) ﺑﺎﻳﺪ ﺑﻪ ازای ﻛﻠﻴﻪ ﻣﻘﺎدﻳﺮ f ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﮔﺮدد. دﻗﺖ ﺑﻪ اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ ﻛﻪ ﺣﺪود اﻧﺘﮕﺮال راﺑﻄﻪ (۲-۳) از ∞− ﺗﺎ ∞+ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ از اﻫﻤﻴﺖ وﻳﮋه ای ﺑﺮﺧﻮردار اﺳﺖ. ﭼﺮا ﻛﻪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻌﺒﻴﺮ، ﻫﻴﭻ ﺗﻔﺎوﺗﻲ ﻧﺪارد ﻛﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f در ﻛﺠﺎی زﻣﺎن ﺣﻀﻮر داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﻪ ﺑﻴﺎن دﻳﮕﺮ، ﻳﻚ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻏﺎﻟﺐ، ﺻﺮف ﻧﻈﺮ از اﻳﻦ ﻛﻪ در ﭼﻪ زﻣﺎنﻫﺎﻳﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻇﺎﻫﺮ ﺷﻮد، ﺣﺎﺻﻞ اﻧﺘﮕﺮال را ﺑﻪ ﻳﻚ ﻣﻴﺰان ﺗﺤﺖ ﺗﺄﺛﻴﺮ ﻗﺮار ﻣﻲدﻫﺪ. اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ، ﻧﺎﻛﺎرآﻣﺪی ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ را در آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺘﻐﻴﺮ دارﻧﺪ ﻧﺸﺎن ﻣﻲدﻫﺪ. اﻳﻦﮔﻮﻧﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎ در اﺻﻄﻼح ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ[۳۲] ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮﻧﺪ.
از ﺑﺤﺚ ﺑﺎﻻ ﻣﻲﺗﻮان ﭼﻨﻴﻦ ﻧﺘﻴﺠﻪﮔﻴﺮی ﻧﻤﻮد ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﻴﺎنﻛﻨﻨﺪه اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮردﻧﻈﺮ وﺟﻮد دارد ﻳﺎ ﺧﻴﺮ، اﻣﺎ ﻫﻴﭻ ﻧﻮع اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ در ﻣﻮرد ﺑﺎزه زﻣﺎﻧﻲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﭘﺪﻳﺪاری آن ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ در اﺧﺘﻴﺎر ﻧﻤﻲﮔﺬارد. ﻟﺬا ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﻳﺎ ﻧﺒﻮدن ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﭘﻴﺶ از اﻧﺠﺎم آﻧﺎﻟﻴﺰ ﻓﻮرﻳﻪ اﻟﺰاﻣﻲ اﺳﺖ. اﻛﻨﻮن ﺑﻪ دﻧﺒﺎل اﻳﻦ ﻫﺴﺘﻴﻢ ﻛﻪ ﺑﻪ ﻧﻮﻋﻲ، اﻃﻼﻋﺎت زﻣﺎﻧﻲ را در ﻛﻨﺎر ﻣﺸﺨﺼﺎت ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺳﻴﮕﻨﺎل وارد ﻛﻨﻴﻢ. اوﻟﻴﻦ ﺗﻼش در اﻳﻦ زﻣﻴﻨﻪ ﺑﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن ﻛﻮﺗﺎه ﺑﺮﻣﻲ ﮔﺮدد.
ﺑﺮای آﺷﻨﺎﻳﻲ ﺑﻴﺸﺘﺮ ﺑﺎ ﻛﺎرﻛﺮد ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ و ﺿﻌﻒ آن در ﻣﺸﺨﺺ ﺳﺎزی ﻣﻮﻗﻌﻴﺖ زﻣﺎﻧﻲ ﻓﺮﻛﺎ-نسﻫﺎی ﻣﻮﺟﻮد در ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﻣﺜﺎل زﻳﺮ را در ﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل x1(t)ﻣﺨﻠﻮﻃﻲ از ۴ ﺗﺎﺑﻊ ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎی ۵، ۲۰ ،۱۰ و ۵۰ ﻫﺮﺗﺰ ﺑﺎﺷﺪ ﻛﻪ در ﺗﻤﺎم زﻣﺎن ﻫﺎ ﺣﻀﻮر دارﻧﺪ. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ ﻓﺮض ﻛﻨﻴﺪ ﺳﻴﮕﻨﺎل x2(t)ﻣﺨﻠﻮﻃﻲ از ﻫﻤﺎن ۴ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﺷﺪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﺗﻔﺎوت ﻛﻪ ﻫﺮ ﻛﺪام از ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎ ﻓﻘﻂ در ﻳﻚ ﺑﺎزه زﻣﺎﻧﻲ ﺧﺎص ﺣﻀﻮر دارﻧﺪ. ﺷﻜﻞ (۴-۲) اﻳﻦ دو ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺑﻪ ﻫﻤﺮاه ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ آن ﻫﺎ ﻧﺸﺎن ﻣﻲ دﻫﺪ. آﻧﭽﻨﺎﻧﻜﻪ دﻳﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد در ﻫﺮ دو ﻃﻴﻒ، ۴ ﻗﻠﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎی ۲۰ ،۱۰ ،۵ و ۵۰ ﻫﺮﺗﺰ وﺟﻮد دارد. اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺎ ﻳﻚ ﻣﻘﺎﻳﺴﻪ ﺑﺼﺮی ﻣﻲﺗﻮان دﻳﺪ ﻛﻪ ﻃﻴﻒ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻟﻒ، ﻓﻘﻂ دارای ۴ ﻗﻠﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ ﺑﻪ ﺷﻜﻞ ﭘﻴﻚ ، ﺣﻮل ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻣﺘﻨﺎﻇﺮ ﺑﺎ ﺧﻮد ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. در ﺣﺎﻟﻲ ﻛﻪ ﻃﻴﻒ ﺳﻴﮕﻨﺎل ب، ﻋﻼوه ﺑﺮ ۴ ﻗﻠﻪ ﺑﺮﺟﺴﺘﻪ، دارای ﻧﻮﺳﺎﻧﺎت و ﻗﻠﻪ ﻫﺎی ﻛﻮﭼﻜﺘﺮ دﻳﮕﺮی در ﺳﺎﻳﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎ ﻧﻴﺰ ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ.
شکل ۲ – ۴ دو نمونه سیگنال شامل مخلوطی از فرکانس های ۵ ، ۱۰ ، ۲۰ ، ۵۰ هرتز و تبدیل فوریه آنها [۴]
(اﻟﻒ) ﻣﺨﻠﻮط ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺷﺎﻣﻞ ﺗﻤﺎم ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎ در ﺗﻤﺎم زﻣﺎن ﻫﺎ، (ب) ﻣﺨﻠﻮط ﻛﺴﻴﻨﻮﺳﻲ ﺑﻪ ﻧﺤﻮی ﻛﻪ ﻫﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻓﻘﻂ در ﻳﻚ ﺑﺎزه زﻣﺎﻧﻲ ﺑﻪ ﺧﺼﻮص ﺣﻀﻮر دارد، (پ) ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻟﻒ، (ت) ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ب.
۳-۳-۲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه[۳۳]
در ﺑﺨﺶ ﭘﻴﺶ دﻳﺪﻳﻢ ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ در آﻧﺎﻟﻴﺰ ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎی ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ ﺿﻌﻒ دارد. ﺳﺎدهﺗﺮﻳﻦ اﻳﺪه ای ﻛﻪ ﺑﻪ ذﻫﻦ ﻣﻲرﺳﺪ اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺨﺶ ﻛﻮﺗﺎﻫﻲ از ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ را اﻳﺴﺘﺎ ﻓﺮض ﻧﻤﻮد. اﻳﻦ ﻧﻜﺘﻪ در ﺷﻜﻞ (۲-۴ ب) ﻧﻴﺰ ﺑﻪ وﺿﻮح دﻳﺪه ﻣﻲ ﺷﻮد، ﭼﺮا ﻛﻪ ﺑﻪ وﺿﻮح اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻧﺎاﻳﺴﺘﺎ در ﻫﺮ ﺑﺎزه ۰٫۵ ﺛﺎﻧﻴﻪای اﻳﺴﺘﺎ اﺳﺖ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﻣﻲ ﺗﻮان ﺑﺎ ﭘﻨﺠﺮه ﻛﺮدن ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﺑﺨﺸﻲ از ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻛﻪ ﻗﺮار اﺳﺖ اﻳﺴﺘﺎ ﻓﺮض ﺷﻮد را اﺳﺘﺨﺮاج ﻧﻤﻮد. اﻟﺒﺘﻪ ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ داﺷﺖ ﻛﻪ اﻧﺪازه ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻧﺤﻮی اﻧﺘﺨﺎب ﺷﻮد ﻛﻪ ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﺑﺮای ﺗﻤﺎم ﺑﺨﺶﻫﺎی ﺟﺪا ﺷﺪه ﺗﻮﺳﻂ آن، ﺑﺮﻗﺮار ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﻧﻜﺎت ﺑﺎﻻ ﻣﻲ ﺗﻮان دﻳﺪ ﻛﻪ ﺑﻴﻦ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ و ﻧﺴﺨﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه آن ﺗﻔﺎوت ﭼﻨﺪاﻧﻲ وﺟﻮد ﻧﺪارد. ﺗﻨﻬﺎ ﺗﻔﺎوت اﻳﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ ﺑﺨﺶﻫﺎی ﺑﻪ ﺣﺪ ﻛﺎﻓﻲ کوچک ﺗﻘﺴﻴﻢ ﻣﻲ ﺷﻮد ﺑﻪ ﻧﺤﻮی ﻛﻪ ﺑﺘﻮان اﻳﻦ ﻗﺴﻤﺖﻫﺎ را اﻳﺴﺘﺎ ﻓﺮض ﻧﻤﻮد. ﺑﺪﻳﻦ ﻣﻨﻈﻮر از ﻳﻚ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه w اﺳﺘﻔﺎده ﻣﻲ ﺷﻮد ﻛﻪ ﻃﻮل آن ﺑﺮاﺑﺮ اﺳﺖ ﺑﺎ ﺣﺪاﻗﻞ ﻃﻮل ﻣﻮرد ﻧﻴﺎز ﺑﺮای آن ﻛﻪ ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﻗﻄﻌﺎت ﺟﺪاﺷﺪه ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻌﺘﺒﺮ ﺑﺎﺷﺪ. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﺳﻴﮕﻨﺎل (x(t ﺑﺎ اﺳﺘﻔﺎده از ﭘﻨﺠﺮه زﻣﺎﻧﻲ (w(t ﺑﻪ ﺻﻮرت زﻳﺮ ﺗﻌﺮﻳﻒ ﻣﻲ ﺷﻮد:
(۲-۶)
ﻛﻪ در آن f ﻣﺘﻐﻴﺮ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ و τ ﻣﺘﻐﻴﺮ زﻣﺎﻧﻲ اﺳﺖ. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه، ﻫﻤﺎن ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه اﺳﺖ. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﺑﺎ ﺷﺮوع از اﺑﺘﺪای ﺳﻴﮕﻨﺎل، ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺿﺮب ﺷﺪه و ﺳﭙﺲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲ ﮔﺮدد. در ﮔﺎم ﺑﻌﺪ، ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻣﻴﺰان τ ﺷﻴﻔﺖ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ و روﻧﺪ ﻗﺒﻞ ﻣﺠﺪداً ﺗﻜﺮار ﻣﻲﺷﻮد. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺮای ﻫﺮ ﻣﻘﺪار τ و f ، ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﻣﻲﮔﺮدد. ﻧﺤﻮه ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه و ﻧﻘﺶ ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه در ﺷﻜﻞ (۲-۵) ﺑﻪ ﺻﻮرت ﮔﺮاﻓﻴﻜﻲ ﻧﺸﺎن داده ﺷﺪه اﺳﺖ. ﺑﺎ دﻗﺖ در راﺑﻄﻪ (۲-۶) درﻣﻲﻳﺎﺑﻴﻢ ﻛﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه ﻧﻮﻋﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ زﻣﺎن-ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ اﺳﺖ ﭼﺮا ﻛﻪ ﺧﺮوﺟﻲ آن دارای دو ﺑﻌﺪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ f و ﺟﺎﺑﺠﺎﻳﻲ زﻣﺎﻧﻲ τ اﺳﺖ. ﻟﺬا ﺑﺎ اﺣﺘﺴﺎب داﻣﻨﻪ ﺿﺮاﻳﺐ ﺗﺒﺪﻳﻞ، ﻣﻲ ﺗﻮان ﺷﻜﻞ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه را ﺑﻪ ﺻﻮرت ﻳﻚ ﻧﻤﻮدار ﺳﻪ ﺑﻌﺪی اراﺋﻪ ﻧﻤﻮد.
شکل ۲ – ۵ نمایش گرافیکی نحوه پنجره کردن سیگنال غیر ایستا به منظور محاسبه تبدیل فوریه زمان کوتاه[۴]
ﺑﻪ ﺧﺎﻃﺮ دارﻳﻢ ﻛﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ، در ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﻴﭻ ﮔﻮﻧﻪ ﻣﺸﻜﻞ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻧﺪاﺷﺘﻴﻢ، ﭼﺮا ﻛﻪ دﻗﻴﻘﺎً ﻣﻲداﻧﺴﺘﻴﻢ ﭼﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻫﺎﻳﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮﺟﻮد ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ (اﻣﺎ از ﻣﺤﻞ زﻣﺎﻧﻲ آن ﻫﺎ اﻃﻼﻋﻲ در دﺳﺖ ﻧﺒﻮد). ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺸﺎﺑﻪ، در ﺣﻮزه زﻣﺎن، ﻣﻘﺪار ﺳﻴﮕﻨﺎل را در ﻫﺮ ﻧﻤﻮﻧﻪ زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻲداﻧﺴﺘﻴﻢ و ﻟﺬا ﻫﻴﭻ ﻣﺸﻜﻠﻲ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﻧﺪاﺷﺘﻴﻢ. ﺑﺎﻟﻌﻜﺲ، رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ در ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ و رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﺣﻮزه زﻣﺎن در تبدیل ﻓﻮرﻳﻪ ﺻﻔﺮ اﺳﺖ، ﭼﺮا ﻛﻪ ﺣﻮزه ﻣﻮردﻧﻈﺮ، ﻫﻴﭻ ﮔﻮﻧﻪ اﻃﻼﻋﺎﺗﻲ از آنﻫﺎ در اﺧﺘﻴﺎر ﻣﺎ ﻗﺮار ﻧﻤﻲ دﻫﺪ. از ﻃﺮف دﻳﮕﺮ ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ داﺷﺖ آﻧﭽﻪ ﻛﻪ ﺳﺒﺐ ﻣﻲ ﺷﻮد در ﺣﻮزه ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ را دارا ﺑﺎﺷﻴﻢ، در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻫﻤﺎن ﻫﺴﺘﻪ ﻧﻤﺎﻳﻲ(exp(− j2πft اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺗﻤﺎم زﻣﺎن ﻫﺎ، از ∞− ﺗﺎ ∞+ ﺣﻀﻮر دارد. ﺣﺎل آﻧﻜﻪ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه، ﻃﻮل ﭘﻨﺠﺮه ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻣﺘﻨﺎﻫﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺳﺒﺐ ﻛﺎﻫﺶ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻣﻲ ﮔﺮدد. ﺑﺪﻳﻦﺳﺎن در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه، دﻗﻴﻘﺎً ﻧﻤﻲداﻧﻴﻢ ﭼﻪ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ ﺑﻠﻜﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻳﻚ ﻣﺤﺪوده (ﻳﻚ ﺑﺎﻧﺪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ) ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ. ﻟﺬا ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﻣﺤﺪود ﺑﻮدن ﻃﻮل ﭘﻨﺠﺮه، رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن- ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻬﺘﺮﻳﻦ ﻧﺨﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. دﻗﺖ دارﻳﻢ ﻛﻪ ﻫﺮﭼﻪ ﻃﻮل ﭘﻨﺠﺮه ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﺑﺰرﮔﺘﺮ ﺑﺎﺷﺪ، ﺑﻪ ﺳﻤﺖ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ ﭘﻴﺶ ﻣﻲ روﻳﻢ. ﺑﻨﺎﺑﺮاﻳﻦ ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ﭘﻨﺠﺮه زﻣﺎﻧﻲ ﺑﺰرگ، رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ اﻓﺰاﻳﺶ ﻣﻲﻳﺎﺑﺪ. ﺣﺎل آنﻛﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﻳﻚ ﭘﻨﺠﺮه ﺑﺰرگ ﻛﻢ اﺳﺖ. در ﻧﻘﻄﻪ ﻣﻘﺎﺑﻞ، ﺑﺎ اﻧﺘﺨﺎب ﭘﻨﺠﺮه زﻣﺎﻧﻲ ﻛﻮﭼﻚ، رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺧﻮﺑﻲ ﺧﻮاﻫﻴﻢ داﺷﺖ اﻣﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻧﺎﻣﻨﺎﺳﺐ ﺧﻮاﻫﺪ ﺑﻮد. از آﻧﺠﺎ ﻛﻪ ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻛﺎر رﻓﺘﻪ در ﻣﺤﺎﺳﺒﻪ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه ﺛﺎﺑﺖ اﺳﺖ، ﻟﺬا ﺑﺮ ﺣﺴﺐ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ، ﺑﺎﻳﺴﺘﻲ ﻧﻮﻋﻲ ﻣﺼﺎﻟﺤﻪ ﺑﻴﻦ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ و ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻗﺎﺋﻞ ﺷﻮﻳﻢ، ﭼﺮا ﻛﻪ ﻧﻤﻲﺗﻮان ﻫﻤﺰﻣﺎن ﻫﺮ دو را ﺧﻮب ﻛﺮد.
ﺑﺎ اﻓﺰودن ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه ﺑﻪ ﻓﺮﻣﻮل ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ، ﺑﻪ ﻧﺴﺨﻪ ﺟﺪﻳﺪی رﺳﻴﺪﻳﻢ ﻛﻪ اﻃﻼﻋﺎت ﺗﻮأم زﻣﺎﻧﻲ و ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ را درﺑﺮدارد. ﺗﻨﻬﺎ ﻣﺴﺄﻟﻪای ﻛﻪ ﺑﺎﻗﻲ ﻣﻲﻣﺎﻧﺪ، اﻧﺘﺨﺎب اﻧﺪازه ﭘﻨﺠﺮه اﺳﺖ. ﺑﺎﻳﺪ دﻗﺖ داﺷﺖ ﻛﻪ اﻧﺘﺨﺎب ﭘﻨﺠﺮه ﺑﺎ ﻃﻮل ﺑﺰرﮔﺘﺮ ﻫﺮﭼﻨﺪ ﺑﻪ اﻓﺰاﻳﺶ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻛﻤﻚ ﻣﻲ ﻛﻨﺪ، اﻣﺎ ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎ ﺑﻮدن ﻗﻄﻌﻪﻫﺎی ﭘﻨﺠﺮه ﺷﺪه ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺗﺤﺖ اﻟﺸﻌﺎع ﻗﺮار ﻣﻲدﻫﺪ. ﭘﺎﺳﺦ اﻳﻦ ﻣﺴﺄﻟﻪ ﺑﻪ ﻛﺎرﺑﺮد ﻣﻮردﻧﻈﺮ ﺑﺴﺘﮕﻲ دارد و ﻏﺎﻟﺒﺎً ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ ﻣﻲﺗﻮان ﻃﻮﻟﻲ از ﭘﻨﺠﺮه را اﻧﺘﺨﺎب ﻧﻤﻮد ﻛﻪ در ﻋﻴﻦ ﺣﻔﻆ اﻋﺘﺒﺎر ﻓﺮض اﻳﺴﺘﺎﻳﻲ، رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ و ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻗﺎﺑﻞ ﻗﺒﻮﻟﻲ داﺷﺘﻪ ﺑﺎﺷﺪ. اﻣﺎ ﺑﺎ ﺗﻮﺟﻪ ﺑﻪ دﺷﻮاری اﻳﻦ روﻳﻜﺮد و واﺑﺴﺘﮕﻲ آن ﺑﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل، اﻳﺪه اﺳﺘﻔﺎده از ﻧﻮﻋﻲ ﺗﺒﺪﻳﻞ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻗﺎﺑﻞ ﺗﻐﻴﻴﺮ ﺑﻪ ذﻫﻦ رﺳﻴﺪ ﻛﻪ ﻣﻨﺠﺮ ﺑﻪ ﭘﻴﺪاﻳﺶ ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﮔﺮدﻳﺪ. در اداﻣﻪ ﺑﺎ اﻳﺪه آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪرزوﻟﻮﺷﻨﻪ و ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک آﺷﻨﺎ ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺷﺪ.
۴-۳-۲ آﻧﺎﻟﻴﺰ چند رزولوشنه [۳۴]
ﻣﺸﻜﻞ رزوﻟﻮﺷﻦ ﺛﺎﺑﺖ در ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه رﻳﺸﻪ در اﺻﻞ ﻋﺪم ﻗﻄﻌﻴﺖ ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ[۳۵] دارد. ﻃﺒﻖ اﻳﻦ اﺻﻞ ﻧﻤﻲﺗﻮان ﺗﻮﺻﻴﻒ زﻣﺎن- ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل را ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﻴﻖ داﺷﺖ، ﻳﻌﻨﻲ ﻧﻤﻲ ﺗﻮان ﻓﻬﻤﻴﺪ ﻛﻪ در ﻳﻚ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﺑﻪ ﻃﻮر دﻗﻴﻖ ﭼﻪ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎی ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ در ﭼﻪ زﻣﺎن ﻫﺎﻳﻲ وﺟﻮد دارد، ﺑﻠﻜﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﻣﻲﺗﻮان ﻓﻬﻤﻴﺪ ﻛﻪ در ﻛﺪام ﺑﺎزه ﻫﺎی زﻣﺎﻧﻲ، ﭼﻪ ﺑﺎﻧﺪ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻣﻮﺟﻮد اﺳﺖ. اﻳﻦ اﺻﻞ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﺑﻪ ﻣﻔﻬﻮم رزوﻟﻮﺷﻦ ﺑﺮﻣﻲﮔﺮدد.
اﮔﺮﭼﻪ ﻣﺸﻜﻼت رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎن و ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ در ﻧﺘﻴﺠﻪ ﻳﻚ ﭘﺪﻳﺪه ﻓﻴﺰﻳﻜﻲ (اﺻﻞ ﻋﺪم ﻗﻄﻌﻴﺖ ﻫﺎﻳﺰﻧﺒﺮگ) ﺑﻮده و رﺑﻄﻲ ﺑﻪ ﻧﻮع ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻣﻮرد اﺳﺘﻔﺎده ﻧﺪارد، ﻣﻲ ﺗﻮان از ﻳﻚ روﻳﻜﺮد ﺟﺎﻳﮕﺰﻳﻦ ﺑﺮای ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻫﺎ اﺳﺘﻔﺎده ﻧﻤﻮد ﻛﻪ اﺻﻄﻼﺣﺎً آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪرزوﻟﻮﺷﻨﻪ ﻧﺎﻣﻴﺪه ﻣﻲﺷﻮد. در اداﻣﻪ ﺑﺎ اﻳﻦ ﻣﻔﻬﻮم ﺑﻴﺸﺘﺮ آﺷﻨﺎ ﺷﺪه و ﻧﻬﺎﻳﺘﺎً از آن ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﺳﻨﮓ ﺑﻨﺎی ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻬﺮه ﺧﻮاﻫﻴﻢ ﺑﺮد.
ﻣﻨﻈﻮر از آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ، ﺗﺤﻠﻴﻞ ﺳﻴﮕﻨﺎل در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ ﺑﺎ رزوﻟﻮﺷﻦ ﻫﺎی ﻣﺘﻔﺎوت اﺳﺖ. ﺑﺪﻳﻦ ﺗﺮﺗﻴﺐ، ﺑﺮ ﺧﻼف ﺗﺒﺪﻳﻞ ﻓﻮرﻳﻪ زﻣﺎن-ﻛﻮﺗﺎه، در آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ، ﺑﺎ ﻫﺮ ﻳﻚ از ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎی ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺑﻪ ﻃﻮر ﻳﻜﺴﺎن رﻓﺘﺎر ﻧﻤﻲﺷﻮد. در ﺣﻘﻴﻘﺖ ﻫﺪف آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ، اراﺋﻪ رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﻣﻨﺎﺳﺐ و رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﻧﺎدﻗﻴﻖ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﺑﺎﻻ و در ﻣﻘﺎﺑﻞ، رزوﻟﻮﺷﻦ ﻓﺮﻛﺎﻧﺴﻲ ﺧﻮب و رزوﻟﻮﺷﻦ زﻣﺎﻧﻲ ﺿﻌﻴﻒ در ﻓﺮﻛﺎﻧﺲﻫﺎی ﭘﺎﺋﻴﻦ اﺳﺖ. اﻳﻦ روﻳﻜﺮد ﺑﻪ وﻳﮋه در ﻛﺎرﺑﺮدﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻣﻮرد ﺗﺤﻠﻴﻞ دارای ﻣﺆﻟﻔﻪ ﻫﺎی ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﻻ در ﻣﺪت زﻣﺎن ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻮده و ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎی ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﭘﺎﺋﻴﻦ آنﻫﺎ ﺑﺮای ﺑﺎزهﻫﺎی ﺑﻠﻨﺪ زﻣﺎﻧﻲ ﺑﺎﻗﻲ ﻣﻲ ﻣﺎﻧﻨﺪ، ﻣﻔﻴﺪ ﻣﻲﺑﺎﺷﺪ. ﺑﻪ وﻳﮋه اﻳﻦﻛﻪ اﻛﺜﺮ ﻗﺮﻳﺐ ﺑﻪ اﺗﻔﺎق ﺳﻴﮕﻨﺎلﻫﺎﻳﻲ ﻛﻪ در ﻋﻤﻞ ﺑﺎ آن ﻫﺎ ﻣﻮاﺟﻪ ﻫﺴﺘﻴﻢ از اﻳﻦ ﻧﻮع ﻫﺴﺘﻨﺪ. ﺑﻪ ﻋﻨﻮان ﻣﺜﺎل، ﺳﻴﮕﻨﺎل اﻟﻜﺘﺮوﻛﺎردﻳﻮﮔﺮافی[۳۶] ،ﻧﻮار ﻗﻠﺐ، را درﻧﻈﺮ ﺑﮕﻴﺮﻳﺪ. اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل دارای ﻳﻚ ﻣﺆﻟﻔﻪ ﺑﺎ ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﻧﺴﺒﺘﺎً ﭘﺎﺋﻴﻦ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺳﺮﺗﺎﺳﺮ ﺳﻴﮕﻨﺎل وﺟﻮد دارد ،ﺧﻂ ﭘﺎﻳﻪ و ﻗﻄﻌﺎت ﺑﻴﻦ ﻣﻮجﻫﺎی ﻣﺨﺘﻠﻒ ﻧﻮار ﻗﻠﺐ. ﻫﻤﭽﻨﻴﻦ اﻳﻦ ﺳﻴﮕﻨﺎل دارای ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎی ﻓﺮﻛﺎﻧﺲ ﺑﺎﻻﻳﻲ اﺳﺖ ﻛﻪ ﺗﻨﻬﺎ ﺑﺮای ﻳﻚ دوره زﻣﺎﻧﻲ ﻛﻮﺗﺎه و در اواﺳﻂ ﻫﺮ ﺳﻴﻜﻞ از ﺳﻴﮕﻨﺎل ﻇﺎﻫﺮ ﻣﻲ ﺷﻮﻧﺪ. اﻳﻦ ﻣﺆﻟﻔﻪﻫﺎ ﻫﻤﺎن ﻣﻮجﻫﺎیPQRST ﻣﻲﺑﺎﺷﻨﺪ. در اداﻣﻪ، ﺗﺒﺪﻳﻞ موجک ﺑﻪ ﻋﻨﻮان اﺑﺰاری ﺑﺮای آﻧﺎﻟﻴﺰ ﭼﻨﺪ رزوﻟﻮﺷﻨﻪ ﻣﻌﺮﻓﻲ ﺧﻮاﻫﺪ ﺷﺪ. اما قبل از آن با مفهوم موجک به عنوان پایه ای برای تبدیل موجک آشنا خواهیم شد .
۵-۳-۲ آشنایی با موجک
واژه موجک ﺑﻪ ﻣﻌﻨﺎی ﻣﻮج ﻛﻮﭼﻚ اﺳﺖ ﻛﻪ در ﺑﺮﺧﻲ ﺗﺮﺟﻤﻪ ﻫﺎی فارسی ، ﺗﻌﺒﻴﺮ ویولت ﺑﺮای آن آورده ﺷﺪه اﺳﺖ. دﻟﻴﻞ اﺳﺘﻔﺎده از واژه ﻛﻮﭼﻚ، ﻣﺤﺪود ﺑﻮدن و ﻛﻮﺗﺎه ﺑﻮدن ﺗﺎﺑﻊ ﭘﻨﺠﺮه ﻣﻲ ﺑﺎﺷﺪ. ﻋﻠﺖ اﺳﺘﻔﺎده از واژه ﻣﻮج ﻧﻴﺰ ﺑﻪ دﻟﻴﻞ ﻣﺎﻫﻴﺖ ﻧﻮﺳﺎﻧﻲ اﻳﻦ ﺗﺎﺑﻊ اﺳﺖ.[۵]
موجک یک تابع نوسانی در یک زمان محدود می باشد که میانگین مقادیر آن در طول زمان صفر می باشد . به عبارت دقیقتر یک تابع وقتی موجک نامیده می شود که دارای شرایط زیر باشد .
یک تابع با ماهیت نوسانی
در یک بازه زمانی محدود
میانگین مقادیر آن در طول زمان صفر باشد .
توابع موجک بسیار زیادی موجود می باشند که ساده ترین آنها موج هار می باشد .
اگر موجک را با سینوس که پایه تبدیل فوریه می باشد مقایسه کنیم می بینیم که سینوس یک دوره محدود ندارد بلکه از منفی بی نهایت تا مثبت بی نهایت ادامه می یاید . و در حالیکه رفتاری قابل حدث و لطیف دارد . اما در مقابل موجک دارای رفتاری نامنظم و شکلی نا متقارن می باشد .
شکل ۲ – ۶ موج سینوسی در مقایسه با موجک [۱۰]
همانطور که در بخش قبل دیدیم آنالیز فوریه ، شامل شکستن یک سیگنال به مولفه های سینوسی با فرکانس های مختلف می باشد . به طور مشابه ، آنالیز موجک شامل شکستن سیگنال به نسخه های شیفت یافته شده و مقیاس شده از موجک مادر می باشد .
فقط با یک نگاه کلی به تصویر (۶-۲) موج سینوسی و موجک می توانید درک کنید که سیگنال های با تغییرا ت سریع می توانند به صورت بهتری توسط موجک نامنظم در مقابل موج سینوسی با رفتاری لطیف تجزیه و تحلیل شوند . [۱۰]
۶-۳-۲ تبدیل موجک پیوسته [۳۷]

نوشته ای دیگر :
تبیین مزیت رقابتی پایدار برای بانک های استان گیلان در قالب یک مدل ...

برای دانلود متن کامل پایان نامه به سایت  jemo.ir  مراجعه نمایید.